Question

不等式证明

a,b,c为正数，且abc=1,证明
1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)≤1/2

Answer 1

楼上证法错误，第二步应该有：
1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)≥3/（a^2+b^2+c^2+3）
取倒数不等号应该反向，而他没有反向而导致错误。

正确做法如下：
注意到，由均值不等式：
a^2+2b^2+3=(a^2+b^2)+(b^2+1)+2>=2ab+2b+2=2(ab+b+1)
同理有：b^2+2c^2+3>=2(bc+c+1)
c^2+2a^2+3>=2(ca+a+1)
于是有
1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)<=1/[2(ab+b+1)]+1/[2(bc+c+1)]+1/[2(ca+a+1)]
再利用abc=1，有：
1/[2(ab+b+1)]=ca/[2ca(ab+b+1)]=ca/[2(a+1+ca)]
1/[2(bc+c+1)]=a/[2a(bc+c+1)]=a/[2(1+ca+a)]
于是
1/[2(ab+b+1)]+1/[2(bc+c+1)]+1/[2(ca+a+1)]=(ca+a+1)/[2(ca+a+1)]=1/2

于是1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)<=1/[2(ab+b+1)]+1/[2(bc+c+1)]+1/[2(ca+a+1)]=1/2

即1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)≤1/2成立。

得证。

Answer 2

abc后面那个是啥啊、、、、

Answer 3

cutmiss的

根据Cauchy不等式
(1/x + 1/y + 1/z)(x + y + z)≤9

显然是错的。。。反向了

Answer 4

用调和平均大于算术平均可得
3/(1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3))≤((a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3))/3=a^2+b^2+c^2+3;
所以，1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)≤3/（a^2+b^2+c^2+3）
又因为，a^2+b^2+c^2>=3*\sqr(abc)=3;即得1/(a^2+2b^2+3)+1/(b^2+2c^2+3)+1/(c^2+2a^2+3)≤1/2

其中\sqr表示开根号。