Question

已知:如图,∠ABD=∠ACD=60°,∠ADB=90°—二分之一∠BDC,求证:△ABC是等腰三角形

Answer 1

做∠BAC的角平分线，交BC于P,
将AC
BD交点计做O
∵∠ABD=∠ACD，∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△COD
∴∠BDC=∠BAC
∵BO:CO=AO:DO
∴BO:AO=CO:DO
∴△BOC∽△AOD
∴∠BCO=∠ADO
又角ADB=90°-1/2角BDC
∴角BCO+角PAC=90°
∴三角形BAC为等腰三角形（三线合一）
楼主若没学过相似可以用全等证明。（照我的辅助线作法与标注相同的字母）
辅助线：
过点D作FD垂直BD交BA的延长线于点F。
以AD为边在AD右侧作角EAD=角BAC交CD的延长线于点E
1.设角BCD=X，则角ADB=90-x/2，又由角ACD=60可得角CAD=30-x/2
2.由角BDF=90，角ADB=90-x/2，可得角ADF=x/2，再可得角BAD=30+x/2
3.由1，2得角BAC=x=角EAD
4.因为CDE为平角所以角ADE=90+x/2，连同3的结论可得角AED=90-x/2=角ADE
所以三角形ADE中，AD=AE
5.三角形ABD与三角形ACE中，
角BDA=角CEA=90-x/2
边AD=AE
角BAD=角CAE（由第二步辅助线所得）
两三角形全等，得出AB=AC