如果f(x)在x0处是连续的,则必存在x0的一个邻域,在这个邻域中f(x)是连续...
如果f(x)在x0处是连续的,则必存在x0的一个邻域,在这个邻域中f(x)是连续的.这个结论正确吗?怎么证明?...
如果f(x)在x0处是连续的,则必存在x0的一个邻域,在这个邻域中f(x)是连续的.这个结论正确吗?怎么证明?
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这个结论是错误的.
考虑函数f(x)
=
x·D(x).
其中D(x)为Dirichlet函数,即当x为有理数时D(x)
=
1,x为无理数时D(x)
=
0.
可以证明D(x)在任意点都不连续.
由|f(x)|
=
|x|·D(x)
≤
|x|,可知lim{x
→
0}
f(x)
=
0
=
f(0),即f(x)在x0
=
0处连续.
但对任意x0
≠
0,f(x)在x0处不连续.
否则由1/x在x0处连续
(x0
≠
0),可得D(x)
=
1/x·f(x)也在x0处连续,矛盾.
考虑函数f(x)
=
x·D(x).
其中D(x)为Dirichlet函数,即当x为有理数时D(x)
=
1,x为无理数时D(x)
=
0.
可以证明D(x)在任意点都不连续.
由|f(x)|
=
|x|·D(x)
≤
|x|,可知lim{x
→
0}
f(x)
=
0
=
f(0),即f(x)在x0
=
0处连续.
但对任意x0
≠
0,f(x)在x0处不连续.
否则由1/x在x0处连续
(x0
≠
0),可得D(x)
=
1/x·f(x)也在x0处连续,矛盾.
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