Question

一道数学题

，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点.
(1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E，①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?
请直接写出相应的t值
请问这题是哪个地方的2010年数学中考题，谢谢。

Answer 1

1. 如图,可知点A的坐标为(4,8).
抛物线y=ax^2+bx过点A(4,8),C(8,0),则：
8=16a+4b(1);0=64a+8b(2).
由(1)(2)可求得a=-0.5,b=4.故抛物线解析式为y=-0.5x^2+4x.
2. (1)设过点A(4,8),C(8,0)的直线为Y=kx+b,则：
8=4k+b;0=8k+b.解之得k=-2,b=16.则直线AC为Y=-2x+16.
PE‖BC,则AP/AB=PE/BC,t/8=PE/4,PE=0.5t。则E为(0.5t+4,8-t).
点G与点E的横坐标均为0.5t+4,代入抛物线解析式：
Y=-0.5(0.5t+4)^2+4(0.5t+4)=-1/8t^2+8
G、E的纵标标之差为-1/8t^2+8-(8-t)=-1/8t^2+t=-1/8(t-4)^2+2
即当t=4时，线段EG最长（最长为2）。
（2)EQ=CQ时,√[(0.5t+4-8)^2+(8-t-t)^2]=t;13t^2-144t+320=0
解之得t=8或40/13；
EC=CQ时,√[(0.5t+4-8)^2+(8-t-0)^2]=t;t=40-16√5;
EQ=EC时,√[(0.5t+4-8)^2+(8-t-t)^2]=√[(0.5t+4-8)^2+(8-t-0)^2],t=16/3.
即当t=8、40/13、40-16√5、16/3四个时刻时，使得三角形CEQ是等腰三角形。