Question

微积分：求下列方程所确定的隐函数的二阶导数。谢谢。

Answer 1

1）两边对x求导：2x+2yy'=0,得y'=-x/y
再对y'求导：y"=-(y-xy')/y^2=-(y+x^2/y)/y^2=-(y^2+x^2)/y^3=-1/y^3
2)两对取对数：
lnx=ylny
再对x求导：1/x=y'lny+y/y*y'
即y'=1/[x(lny+1)]
再对y'求导：y"=-1/[x(lny+1)^2*[lny+1+x(y'/y)]=-1/[x(lny+1)^2]*[lny+1+1/(y(lny+1))]
3)两边取对数：
1/x*lny=1/y*lnx
即ylny=xlnx
两边对x求导：y'lny+yy'/y=lnx+x/x
即y'=(lnx+1)/(lny+1)
再对y"求导：y"=[1/x*(lny+1)-(lnx+1)*y'/y]/(lny+1)^2
=[1/x*(lny+1)-(lnx+1)^2/(lny+1)/y]/(lny+1)^2
=[(lny+1)^2/x-(lnx+1)^2/y]/(lny+1)^3