Question

高二数学题 向量方法

直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90度,AC=1,CB=根号2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,B1C1的中点为M.求面B1BD和面CBD所成二面角的大小.

Answer 1

直三棱柱ABC-A1B1C1中,角ACB=90度,AC=1,CB=根号2,侧棱AA1=1,侧面AA1B1B的两条对角线交于点D,B1C1的中点为M.求面B1BD和面CBD所成二面角的大小.
解析:∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=√2,
AA1=1
建立以C为原点，以CB方向为X轴，以CA方向为Y轴正方向，以CC1方向为Z轴的空间直角坐标系C-xyz
∴点坐标:C(0,0,0)，B(√2,0,0)，A(0,1,0)，C1(0,0,1)，B1(√2,0,1)，A1(0,1,1),D(√2/2,1/2,1/2)
向量DB=(√2/2,-1/2,-1/2)
向量DB1=(√2/2,-1/2,1/2)
向量DC=(-√2/2,-1/2,-1/2)
设向量n(x,y,z)为面B1BD的一个法向量，向量m为面CBD的一个法向量
√2/2x-1/2y-1/2z=0
(1)
√2/2x-1/2y+1/2z=0
(2)
(1)-(2)得z=0
令x=1，则y=√2
∴向量n=(1,
√2,0)==>|向量n|
=√3
向量m=向量DB1×向量DC
=(1/2,0,-√2/2)
∴|向量m|=√3/2
向量n•向量m=1/2
设面B1BD和面CBD所成二面角为θ
Cosθ=向量n•向量m/|向量n|*|向量m|=(1/2)/(3/2)=1/3
∴面B1BD和面CBD所成二面角为π-arccos(1/3)
注释:两空间向量的矢积
向量AB=(x1,y1,z1),
向量CD=(x2,y2,z2)
向量AB×向量CD=(y1z2-z1y2，x2z1-x1z2，x1y2-y1x2)
产生一个新向量，其方向垂直于由向量AB，向量CD确定的平面，其方向由右手定则确定。