Question

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) 的离心率为 .

已知椭圆C： x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 (a＞b＞0) 的离心率为 5 3 ，定点M（2，0），椭圆短轴的端点是B 1 ，B 2 ，且MB 1 ⊥MB 2 ． （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）设过点M且斜率不为0的直线交椭圆C于A，B两点．试问x轴上是否存在定点P，使PM平分∠APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）由
5
9
=
e
2
=
a
2
-
b
2
a
2
=1-
b
2
a
2
，得
b
a
=
2
3
．…（2分）
依题意△MB
1
B
2
是等腰直角三角形，从而b=2，故a=3．…（4分）
所以椭圆C的方程是
x
2
9
+
y
2
4
=1
．…（5分）
（Ⅱ）设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），直线AB的方程为x=my+2．
将直线AB的方程与椭圆C的方程联立，消去x得 （4m
2
+9）y
2
+16my-20=0．…（7分）
所以
y
1
+
y
2
=
-16m
4
m
2
+9
，
y
1
y
2
=
-20
4
m
2
+9
．…（8分）
若PF平分∠APB，则直线PA，PB的倾斜角互补，所以k
PA
+k
PB
=0．…（9分）
设P（a，0），则有
y
1
x
1
-a
+
y
2
x
2
-a
=0
．
将 x
1
=my
1
+2，x
2
=my
2
+2代入上式，整理得
2m
y
1
y
2
+(2-a)(
y
1
+
y
2
)
(m
y
1
+2-a)(m
y
2
+2-a)
=0
，
所以 2my
1
y
2
+（2-a）（y
1
+y
2
）=0．…（12分）
将
y
1
+
y
2
=
-16m
4
m
2
+9
，
y
1
y
2
=
-20
4
m
2
+9
代入上式，整理得 （-2a+9）?m=0．…（13分）
由于上式对任意实数m都成立，所以
a=
9
2
．
综上，存在定点
P(
9
2
，0)
，使PM平分∠APB．…（14分）