Question

求以椭圆x²/16+y²/4=1内一点M(1,1)为中点的弦所在直线方程

Answer 1

所求点坐标为(x，y)
设过定点(1,1)的直线为y=k(x-1)+1
联立直线与椭圆方程，将直线代入椭圆方程,
x²/16+[k(x-1)+1]²/4=1
(4k²+1)x²+8k(1-k)x+4(k-1)²-16=0
x1+x2=-8k(1-k)/(4k²+1)
y1+y2=k(x1-1)+1+k(x2-1)+1
=k(x1+x2)+2-2k
=-k*8k(1-k)/(4k²+1)+2-2k
=2(1-k)/(4k²+1)
x=(x1+x2)/2=-4k(1-k)/(4k²+1)
y=(y1+y2)/2=(1-k)/(4k²+1)
两式相比，-x/4y=k
代入上面式子
y=(1-k)/(4k²+1)
=(1+x/4y)/[4(-x/4y)²+1]
整理得到x²-x+4y²-4y=0

Answer 2

解答：
利用点差法
设弦的端点是A(x1,y1),B(x2,y2)
椭圆方程为x²/16+y²/4=1
即
x²+4y²=16
∴
x1+x2=2,y1+y2=2
A，B都在椭圆上
∴
x1²+4y1²=16
--------①
x2+4y2²=16
--------②
①-②
(x1²-x2²)+4(y1²-y2²)=0
∴
x1²-x2²=-4(y1²-y2²)
∴
(x1-x2)(x1+x2)=-4(y1+y2)(y1-y2)
∴
2(x1-x2)=-4*2(y1-y2)
∴
K(AB)=(y1-y2)/(x1-x2)=2/(-8)=-1/4
∴
所求直线方程是y+1=(-1/4)(x-1)
化简得
x+4y-5=0