Question

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则A.f(x)...

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则A.f(x)是偶函数.Bf(x)是奇函数 Cf(x)=f(x+2) Df(x+3)是奇函数

Answer 1

函数f(x)的定义域为R,若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,则
A.f(x)是偶函数.Bf(x)是奇函数
Cf(x)=f(x+2)
Df(x+3)是奇函数
解析：∵函数f(x)的定义域为R,f(x+1)是奇函数
∴f(x)向左平移一个单位得到f(x+1)
即f(x)关于点(1,0)中心对称；
∵函数y=f(x)的图像关于点A(a,b)对称的充要条件是f(x)+f(2a-x)=2b
∴函数f(x)满足f(x)+f(2-x)=0
∵f(x-1)都是奇函数
∴f(x)向右平移一个单位得到f(x-1)
即f(x)也关于点(-1,0)中心对称；
∴函数f(x)满足f(x)+f(-2-x)=0
∴函数f(x)满足f(2-x)=f(-2-x)
令x=-2-x
f(2-(-2-x))=f(-2-(-2-x))==>f(4+x)=f(x)
∴函数f(x)是以4为最小正周期的周期函数.
f(x+3)=f[(x+2)+1]=-f[-(x+2)+1]=-f[(-x)-1]=f(x-1)
-f(-x+3)=-f[-(x-2)+1]=f[(x-2)+1]=f(x-1)
∴f(-x+3)=-f(x+3),故f(x+3)是奇函数
选择D