Question

如果函数f(x)为偶函数,若点(a,b)在f(x)的图像上

已知函数 (b，c∈R)为偶函数，如果点A(x，y)在函数f(x)的图象上，且点 的图象上． (1)求函数f(x)的解析式； (2)设F(x)=g(x)-λf(x)．是否存在实数λ，使F(x)在 上为减函数，且在 上为增函数？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．____

Answer 1

【分析】 (1)根据偶函数求出c的值，然后根据点A(x，y)在函数f(x)的图象上，且点B(x，y 2 +1)在g(x)=f(x 2 +c)的图象上建立方程组求出b和c的值，从而求出函数的解析式； \n(2)先求出函数F(x)，然后利用单调性的定义求出使F(x)在 上为减函数的λ的范围，最后再利用单调性的定义求出使F(x)在 上为增函数的λ的范围，求交集即可求出所求． (1)∵函数f(x)=x 2 +bx+c(b，c∈R)为偶函数， \n∴f(-x)=f(x)， \n即x 2 -bx+c=x 2 +bx+c恒成立． \n∴b=0， \n∴f(x)=x 2 +c. \n又因点A(x，y)在函数f(x)的图象上， \n所以y=x 2 +c， \n∵点(x，y 2 +1)在g(x)=f(x 2 +c)的图象上， \n∴y 2 +1=f(x 2 +c)=(x 2 +c) 2 +c， \n∴(x 2 +c) 2 +1=(x 2 +c) 2 +c， \n则c=1， \n∴b=0，c=1， \n∴ ， . \n(2)依题意得F(x)=g(x)-λf(x)=(x 2 +1) 2 +1-λ(x 2 +1)=x 4 +(2-λ)x 2 +2-λ． \n若存在实数λ，使F(x)在 上为减函数， \n只需在 上任取x 1 <x 2 ， \n使得F(x 1 )-F(x 2 )=(x 1 2 -x 2 2 (x 1 2 +x 2 2 +2-λ)>0恒成立． \n由x 1 2 >x 2 2 > ①所以只需x 1 2 +x 2 2 +2-λ>0恒成立， \n由①得x 1 2 +x 2 2 > + =1， \n所以1≥λ-2恒成立， \n所以只需λ≤3， \n要使F(x)在 上为增函数， \n只要在 上任取x 3 <x 4 ， \n使得F(x 3 )-F(x 4 )=(x 3 2 -x 4 2 )(x 3 2 +x 4 2 +2-λ)>0恒成立． \n因为 ≥x 3 2 >x 4 2 ≥0， \n所以只需x 3 2 +x 4 2 +2-λ<0恒成立， \n所以x 3 2 +x 4 2 < + =1， \n所以1≤λ-2恒成立， \n所以只需λ≥3， \n故存在实数λ=3，符合题意． 【点评】 本题主要考查了函数解析式的求解及常用方法，同时考查了函数的奇偶性和单调性的运用，属于中档题．