Question

初一奥数

例8 n是正偶数，a1,a2,…,an除以n，所得的余数互不相同；b1,b2,…,bn除以n，所得的余数也互不相同。证明a1+b1，a2+b2，…，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。

证明 ∵n是正偶数，所以n-1为奇数，∴ 不是n的倍数，

∵a1,a2,…,an除以n，所得的余数互不相同，所以这n个余数恰好是0，1，…，n-1.从而a1+a2+…+an≡0+1+…+(n-1)= 0(mod n)

同样b1+b2+…+bn≡ 0(mod n)

但 (a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)= (a1+a2+…+an)+( b1+b2+…+bn)

≡ ≡0(mod n)

所以a1+b1，a2+b2，…，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。

看不懂，求解释

Answer 1

设a1=mn,a2=mn+1......an=mn+n-1;
b1=pn,b2=pn+1......bn=pn+n-1;

因为n是正偶数,所以a(n/2+1)、b(n/2+1)de余数为n/2,同理a(n/2+2)、b(n/2+2)de余数为n/2+1.....
则a1+b1,a2+b2,...,a(n/2)+b(n/2)余数分别为
a(n/2+1)+b(n/2+1),a(n/2+2)+b(n/2+2),a(n/2+3)+b(n/2+3)...,an+bn余数也分别为0,2,4,6,8...n-2;

所以所得的余数必有相同的。

Answer 2

你写的过程中有些地方错了。

先举简单的例子，就是
如果n=4，这四个数的余数分别是0,1,2,3,
0+1+2+3=6,6/4=1…2
如果n=6，这六个数的余数分别是0,1,2,3,4,5
0+1+2+3+4+5=15,15/6=2…3

可以看出，如果a1,a2,…,an除以n，所得的余数互不相同，那么a1加a2……加到an的和除以n的余数是n的一半，即为n/2。

同理b1加b2……加到bn的和除以n的余数是n的一半，即为n/2。

于是，a1+b1加a2+b2……加到an+bn的和除以n应该能整除（之前两个余数相加，n/2+n/2=n，所以变为整除）

前面可以看出，如果所得的余数互不相同，余数应该为n/2。现在变成了整除，所以必然不可能出现“所得的余数互不相同”这种情况。

再将你之前所写的修改下：
证明 ∵n是正偶数，∴ n/2是整数。

∵a1,a2,…,an除以n，所得的余数互不相同，所以这n个余数恰好是0，1，…，n-1.从而a1+a2+…+an≡0+1+…+(n-1)=[0+（n-1）]*n/2
=[（n-2）/2]*n+n/2≡n/2(mod n)

(注：上面用到等差数列求和，看不懂的话可以按之前简单例子理解即可)

同样b1+b2+…+bn≡ n/2(mod n)

但 (a1+b1)+(a2+b2)+…+(an+bn)= (a1+a2+…+an)+( b1+b2+…+bn)

≡0(mod n)

所以a1+b1，a2+b2，…，an+bn除以n，所得的余数必有相同的。

Answer 3

设a1=mn,a2=mn+1......an=mn+n-1;
b1=pn,b2=pn+1......bn=pn+n-1;

因为n是正偶数,所以a(n/2+1)、b(n/2+1)de余数为n/2,同理a(n/2+2)、b(n/2+2)de余数为n/2+1.....
则a1+b1,a2+b2,...,a(n/2)+b(n/2)余数分别为
a(n/2+1)+b(n/2+1),a(n/2+2)+b(n/2+2),a(n/2+3)+b(n/2+3)...,an+bn余数也分别为0,2,4,6,8...n-2;

相同