Question

几道高中数学题(求过程)

1.设正三角形边长为a,求它的边心距,半径和高,并证明,边心距:半径:高=1:2:3

2.求圆O内接正六边形与外接正六边形边长比.高的比.

3.已知圆内接正N边形边长为a,求圆外切正N边形的边长b.

4.半径为R的圆内接正n边形边长为an(n为a的下标),求证:同圆内接正2n边形的面积等于1/2nRAn(第二n为a的下标),利用这个结果,求半径为R的圆内接正八边形的面积.用代数式表示.

Answer 1

1.正三角形的内心，外心，重心合一。
（1）易得内切圆半径和外接圆半径，构成以内切圆半径为直角边短边、外接圆半径为直角边斜边的30度三角形。故 内切圆半径：外接圆半径=1：2
（2）因 内切圆半径：外接圆半径=1：2
故 内切圆半径：高=内切圆半径：（内切圆半径+外接圆半径）=1：3

所以 边心距:半径:高=内切圆半径：外接圆半径：高=1：2：3

2.设圆半径为R
则外切正六边形边长=2(√3）R/3,外接正六边形高=R
则内接正六边形边长=R,内接正六边形高=(√3）R/2

内接正六边形与外切正六边形边长比=R:2(√3）R/3=(√3）:2
内接正六边形与外切正六边形高比=(√3）R/2:R=(√3）:2

3.设圆半径为R
则内接正N边形边长 a=R*SIN(π/N)
则外切正N边形边长 b=R*TAN(π/N)
b=a/COS(π/N)

4.圆半径为R
则内接正n边形边长 an=R*SIN(π/n)
则内接正2n边形边长 a2n=R*SIN(π/2n)
则内接正2n边形高 b2n=R*COS(π/2n)

则内接正2n边形面积 S2n=a2n*b2n*2n/2=(n/2)*R*R*SIN(π/n)=n*an*R/2

S8=4*a4*R/2=2*(√2）*R*R