Question

电路原来已经达到稳态，t=0时开关闭合，则Uc(t)为？

完整题目如图

Answer 1

快速的做法是：

1. 当 t = 0 时，Uc = 12V。所以答案在 B 和 D 之间；

2. 4Ω 电阻与 2Ω 等效并联电阻 = 0.75Ω。因此，正确的答案是 D。

完整的计算是这样子的。设 流过 2Ω 电阻的电流为 i。则流过 4Ω 电阻的电流 i1 = i - ic。

ic = -C * dUc/dt = -1F * dUc/dt = -dUc/dt

Uc = 12V - i1 * 4Ω = 12 - 4i + 4ic = i * 2Ω

那么：

6i = 12 + 4ic → i = 2 + 2/3 * ic

Uc = 2i = 4 + 4/3 * ic 

3Uc = 12 + 4ic 

-4 * dUc/dt = 3Uc - 12

dUc/dt =-0.75 Uc + 3                    ①

先求特征方程的解：dUc/dt = -0.75Uc

dUc/Uc = -0.75t

两边同时积分，得到：

ln(Uc) = -0.75t + K

Uc = e^K * e^(-0.75t) = U * e^(-0.75t)        ②

则由这个特征方程得到：

dUc/dt = dU/dt * e^(-0.75t) - U * 0.75 * e^(-0.75t) = dU/dt * e^(-0.75t) - 0.75 * Uc

代回 ① 式，整理得到：

dU/dt * e^(-0.75t) = 3

那么：

dU/dt = 3 * e^(0.75t)

dU = 3 * e^(0.75t) * dt

两边再积分，得到：

U = 3/(0.75) * e^(0.75t) + Uo = 4 * e^(0.75t) + Uo      ③

把这个 ③ 式代回 ② 式，得到：

Uc = 4 + Uo * e^(-0.75t)                                                ④

当 t = 0 时，Uc = 12V。代入 ④ 式，可以得到 Uo = 8V

所以，

Uc(t) = 4 + 8 * e^(-0.75t)

正确的答案是 D。

Answer 2

t=0时刻uc（0-）=12V，根据换路定则uc（0+）=uc（0-）=12V
t=∞时刻，uc（∞）=4V
Req=4/3，τ=Req*C=4/3
所以uc（t）=4+（12-4）e^-t/（4/3）=4+8e^-0.75t
选择A

Answer 3

Uc(0+)=12v，Uc(∞)=4v，Ro=4/3 Ω，τ=4/3 s；
Uc(t)=4+8e^-(0.75t) v。