一道高中数学题(求过程)
既然是高中的题目，那就不是要求用平面几何的知识做。
证：
分别用a、b、c、d表示向量OA、OB、OC、OD，不妨设圆O为单位圆，则|a|=|b|=|c|=|d|=1，即a^2=b^2=c^2=d^2=1。H为AD中点，所以OH=1/2*(a+d)。
由圆内角定理，∠AMD=1/2*(∠BOC+∠AOD)，
（∠AMD=∠ABD+∠BDM=∠ABD+∠BDC=1/2*∠AOD+1/2*∠BOC）
因为AB⊥CD，即∠BMC=π/2，故π=∠BOC+∠AOD，
所以cos∠BOC+cos∠AOD=0， ……①
因为a·d=2*|a|*|d|*cos∠AOD=2*cos∠AOD，
同理b·c=2*cos∠BOC，
由①式得，a·d+b·c=0。 ……②
|OH|=1/2*|BC|
<=> 4*|OH|^2=|BC|^2
<=> 4*OH^2=BC^2
<=> (a+d)^2=(c-b)^2
<=> (a+d)·(a+d)=(c-b)·(c-b)
<=> a^2+d^2+2*a·d=b^2+c^2-2*b·c
<=> a·d=-b·c （a^2=b^2=c^2=d^2=1）
<=> a·d+b·c=0，
由②知，这是成立的。
证毕。
也可以用三角函数的方法。
设A(cos θ1, sin θ1)、B(cos θ2, sin θ2)、C(cos θ3, sin θ3)、D(cos θ4, sin θ4)，
H=1/2*(A+D)=1/2*(cos θ1+cos θ4, sin θ4+sin θ1)=，
|OH|^2=1/4*(cos θ1+cos θ4)^2+1/4*(sin θ4+sin θ1)^2=1/2*(1+cos(θ1-θ4))，
由余弦定理，|BC|^2=2-2*cos(θ2-θ3)，（如果不愿意用余弦定理，可以现算出向量BC，再求出|BC|^2，化简后结果一样）
|OH|=1/2*|BC|
<=> 4*|OH|^2=|BC|^2
<=> 4*OH^2=BC^2
<=> 2*(1+cos(θ1-θ4))=2-2*cos(θ2-θ3)
<=> cos(θ1-θ4)=-cos(θ2-θ3)
<=> cos(θ1-θ4)+cos(θ2-θ3)=0
<=> 存在k，使得 |θ1-θ4|+|θ2-θ3|=2kπ+π，
由圆内角定理，π/2=∠AMD=1/2*(∠BOC+∠AOD)，即π=∠BOC+∠AOD，即
|θ1-θ4|+|θ2-θ3|=π。
于是原命题得证。
如果不愿意用圆内角定理，可以直接通过三角知识来证。
向量BA=(cos θ1-cos θ2, sin θ1-sin θ2)=2*sin((θ1-θ2)/2)*(sin((θ1+θ2)/2), cos((θ1+θ2)/2))，
DC=(cos θ3-cos θ4, sin θ3-sin θ4)=2*sin((θ3-θ4)/2)*(sin((θ3+θ4)/2), cos((θ3+θ4)/2))，
由于BA、DC不为0向量，所以2*sin((θ1-θ2)/2)≠0，2*sin((θ3-θ4)/2)≠0，
因为AB⊥CD，所以BA·DC=0，故
sin((θ1+θ2)/2)*sin(θ3+θ4)/2)+cos((θ1+θ2)/2)*cos((θ3+θ4)/2)=0，
即cos[(θ1+θ2)/2-(θ3+θ4)/2]=0，
cos[(θ1-θ4)/2+(θ2-θ3)/2]=0，
(θ1-θ4)/2+(θ2-θ3)/2=kπ+π/2，
(θ1-θ4)+(θ2-θ3)=2kπ+π，
得证。
