Question

如何证明收敛数列的任意子数列也收敛，且极限相同？

Answer 1

子序列的“脚标列”实际上是证明子序列各种性质的关键。然而，很多教科书对它的处理，是相当粗糙的（如你问题描述的图中所示，就很是典型的一种反面教材）。

其实这就是一层窗户纸，捅破了之后一切都会了，不捅破就总有种说不清弄不明要靠“摸索”的感觉。

以看出，要说一个数列的极限存在，我们需要确定的量有两个:1.极限a，2.通常与epsilon有关的一个正整数N。

设有一个收敛的数列｛a_n｝以及它的一个子数列｛a_(b_n)｝，于是首先我们知道有对于任意的n总有b_n>=n。

回忆一下上面的定义，我们需要证的是：对于任意给定的ε>0，存在正整数N满足当n>N时总有|a_(b_n)-a|<ε。

因为｛a_n｝就是收敛的，所以说存在一个正整数N'满足对于上面那个给定的ε来说，只要n>N'，总有|a_n-a|<ε。

而对于任意一个大于N'的n来说，它所对应的b_n自然也大于N',所以|a_(b_n)-a|<ε成立。

于是，对于给定的ε，只要取N=N'(｛a_n｝收敛保证了N'存在)，那么便有对于任意n>N总有|a_(b_n)-a|<ε。也就是说数列｛a_(b_n)｝收敛于a。

总结如下：

事实上，这是个比较简单的定理。写了这么多是把所有的事情都揉碎了讲的结果。之所以题主不能理解教科书上的证明，大概是因为尚未完全理解极限的概念。