Question

当△<0时，ax²+bx+c≥0的解集为R？

思路是否正确，求老师指点：∵当△＜0，∴函数没有实数根，∴函数图像不和x轴有交点，∴当x取全体实数都满足和图像没有交点，满足△＜0，∴ax²+bx+c≥0的解集为全体实数；感觉错了，请求老师将整个清晰的逻辑讲解讲解，谢谢！本人初中没听课，现在理解不透彻。

Answer 1

你的解题思路虽正确，但没有讨论a，所以得出ax^2＋bx＋c≥0的解集为R是错误的。
解：设f（x）＝ax^2＋bx＋c
（1）当a＝0时，则ax^2+bx＋c＝bx＋c
①当b＞0时，原不等式＝bx＋c≥0，x≥－c／b
②当b＜0时，原不等式＝bx＋c≥0，x≤－c／b
（2）若a＞0，ax^2+bx＋c≥0
当△＜0，∴ax^2+bx＋c＝0没有实数根
∴f（x）＝ax^2+bx＋c是开口向上、与x轴没有交点、在x轴上方的抛物线
∴当x取全体实数都满足图像与x轴无交点，y＞0
∴当a＞0，且△＜0时，原不等式的解集为全体实数R。
（3）若a＜0，ax^2+bx＋c≥0
当△＜0，∴ax^2+bx＋c＝0没有实数根
∴f（x）＝ax^2+bx＋c是开口向下、与x轴没有交点、在x轴下方的抛物线
∴当x取全体实数都满足图像与x轴无交点，y＜0
∴当a＞0，且△＜0时，原不等式的解集为空集。

Answer 2

这个题的思路是正确的，当函数恒大于0，也就是大于等于0的解集为R即全体实数，所以这样的说法是正确的。

Answer 3

二次函数的解，在图像上表示就是和x轴有交点，当Δ＞0时就是有两个交点，等于0是一个交点（一个解），小于0的时候就是没有交点，此时图像在x轴上方，无论x取甚至值都满足ax²+bx+c＞0，所以解集就是R。

Answer 4

思路是正确的，但还存在一点问题。
当△<0时，函数是与x轴没有交点的。这时，你就要看a的值了，如果a>0，则函数开口向上，函数的图像就在x轴的上方，所以ax^2+bx+c>=0恒成立，即对全体实数都成立。反之，a<0,函数的图像就在x轴的下方，则ax^2+bx+c<=0恒成立。

Answer 5

老师的解答是在a为正数情形下，即表示此时二次函数y=ax^2+bx+c在x轴的上方，总之不与x轴相切或者相交，所以此时对应y轴上的值就是非负数。