Question

关于定积分和反常积分换元的条件

：关于定积分和反常积分换元的条件的问题在定积分换元时并没有提到单调性的问题，可是在反常积分中却强调要求换元函数单调。这是为什么？ 另外感觉在做定积分换元时也总是单调的，似乎也没见到不单调的啊，难道这是出题人故意设计的主体吗？？

Answer 1

一般的教材上都没有做要求换元函数单调，其实严格来讲是要求的，这主要是要保证新旧积分上下限的一一对应关系；从另一方面来讲，在不定积分中的换元就要求单调，在那儿是要在最后求反变换，故要求单调，由牛顿-莱布尼兹公式也可以发现这一点（要求积分区间上的一个原函数，也就是要求不定积分）。正如你所说，在一般的时候，所作的换元都是单调的，而不单调的很少遇到。建议你将换元法的证明仔细琢磨一下。