Question

已知1<=X2+Y2<=2,求证1/2<=X2-XY+Y2<=3

这是一个关于不等式证明的题,我不会做,那位高手能帮帮我解答,谢谢!!!
其中X2表示X的平方,<=表示大于等于

Answer 1

设x＝rcosα，y＝rsinα，其中1≤r≤根号2
∴x^2－xy＋y^2
＝r^2(cosα)^2－rcosα·rsinα＋(rsinα)^2
＝r^2(1－1/2sin2α)
∵－1≤sin2α≤1
∴1/2≤1－1/2sin2α≤3/2
∵1≤r≤根号2
∴1≤r^2≤2
∴1/2≤r^2(1－1/2sin2α)≤3
即：1/2≤x^2－xy＋y^2≤3

Answer 2

∵0≤x2+y2+2xy
∴ 2xy≤x2+y2
∵x2+y2≤2<6
∴2xy≤x2+y2≤2<6
(x+y)2+x2+y2<6
∵(x+y)2,x2,y2都大于0
∴0<(x+y)2+x2+y2<6
∴1／2≤x2-xy+y2<3