Question

求极限问题

在这一步时, 我把e^2提出去，分子变成 [ e^ ln(1+x)/x ]-1 然后继续等价无穷小替换 最后极限算出来不存在，请问一下哪里出问题了

Answer 1

x→0时，ln(1+x)=x-x²/2+O(x²)。取“ln(1+x)~x-x²/2”即可。此时，原式=-e²。

Answer 2

e方提出去后，后面乘的应该是((2/x)*(ln(1+x)) - 2)。

Answer 3

e²提出来时，发生运算错误。
详情如图所示:

追答

但是，建议先用平方差公式，再计算极限比较好。

Answer 4

(1+x)^(2/x)

=e^[2ln(1+x)/x]
//
lim(x->0) [(1+x)^(2/x) -e^2 ]/x
=lim(x->0) 【e^[2ln(1+x)/x] -e^2 】/x
=lim(x->0) 【e^{ 2[ x-(1/2)x^2)+o(x^2) ]/x } -e^2 】/x
=lim(x->0) 【e^[ 2(1-(1/2)x)+o(x)] -e^2 】/x
=lim(x->0) 【e^[ 2-x+o(x) ] -e^2 】/x
=lim(x->0) e^2. 【e^[-x+o(x) ] -1 】/x
=lim(x->0) e^2. 【 -x+o(x)】/x
=-e^2