Question

必修二的数学题

已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4，直线l'过定点A（1，0）。若l'与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l'与l：x+2y+2=0的交点为N，判断ⅠAMⅠ*ⅠANⅠ是否为定值，若是，则求出此定值，若不是，请说明理由

Answer 1

过点A作 AB垂直L 并连接AC、CM，

可求出AC和AB  同时求出：C点到直线L的距离正好=AC+AB 

所以 点A、B、C在一条直线上

所以 △ABN和△AMC相似  可有比例：AM：AB=AC：AN

所以 AM * AN =AC * AB（为定值）=6

Answer 2

设直线L1方程为y=k(x-1) (1)
与L2: x+2y+2=0的交点为
N（（2k-2）/（2k+1），-3k/（2k+1））
AN^2=(x-1)^2+y^2=(9+9k^2)/（2k+1）^2
=9(k^2+1)^2/（2k+1）^2
CM与直线L1方程为y=k(x-1)为
M((k^2+4k+3)/(k^2+1), (4k^2+2k)/(k^2+1))
AM^2==(x-1)^2+y^2
=(4k+2)^2/(k^2+1)^2+(4k^2+2k)^2/(k^2+1)^2
==(4k+2)^2(1+k^2)/(k^2+1)^2

(AN*AM)^2=9(1+k^2)/（2k+1）^2×(4k+2)^2×(1+k^2)/(k^2+1)^2
=9×4=36
∴AM*AN为定值 6