Question

条件极值拉格朗日乘子法 λ=0的情况的理解是什么?

Answer 1

直接令lambda=0和列出方程后分情况讨论得出lambda=0是不一样的— 前者转换成无条件极值，后者依旧有条件。

比如在题主举的例子里，lambda=0的情况算出来u=0。如果真是无条件极值，最值不可能是0。事实上最后lambda=0的情况也是在约束等式下算出来的。

如果要从几何直观上理解，原函数的取值是一个立体图形，约束条件大概就是一个曲面与之相交。如果无约束，就是直接看最高最低点，如果有约束就是相交部分的最大最小点。一种典型的错误就是直接给原函数求极值，然后找符合约束条件的点。

错误在于首先，求出来的极值很可能不在约束条件上，其次，还会漏掉因为约束条件而本该新增的极值。但是这之中有一种例外，此时将会歪打正着，也就是当无条件极值刚好落在约束条件上时，那么此时这个点是合法的。但这也只是其中一个点，不能排除在约束条件上的别的新增极值点。