Question

函数f（x）连续，f'(x0)＞0，则f(x)在x0点的某邻域单调增加。

这句话错在哪里？求指点。

Answer 1

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 2

首先
，函数连续不一定一阶导数连续，想函数
y=|x|
可知
x0>0的话，导数就是大于0的，但是x0的邻域可能包含了x轴左边的某些点和0，那么这样就不是单调增加了，只知道一个点的导数大于0是没用的，必须说整体邻域所有x0的导数都大于0，才能说其单调增加
欢迎追问！这是一个概念问题一定要弄懂~

Answer 3

如果f'(x)连续,则结论成立.否则可能不成立.
f(x)=x+x^2sin(1/x),当x不为0时；f(0)=0,易知f'(0)=1>0,但
f'(x)=1+2xsin(1/x)－cos(1/x),f'(1/kpi)=1－(－1)^k,在k趋于无穷的过程中,
f'(x)总有大于0的点,也有小于0的点,在0的任一个右
邻域
内f(x)不是单调的.

Answer 4

由连续的定义，
对给定的ε>0
,(这里取ε=f(x0)/2)
存在δ>0
,使得对任何
x∈(x0-δ,x0+δ)
都有
|f(x)-f(x0)|<ε
所以
在邻域(x0-δ,x0+δ)
恒有
f(x)>f(x0)-ε=f(x0)/2