Question

已知二次函数f(x)=ax^2-2x+a+b的定义域为[0,3],而值域为[1,5]求a,b的值

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Answer 1

f(x)在定义域内有三种情况：

（1）f(x)在【0,3】内单调递增。
则 f(0) = 1;f(3) = 5;解得 a = 10/9;b = -1/9。
此时函数f(x)的对称轴为 x = 9/10;显然f(x)在【0,3】内不是单调递增。
与假设矛盾，故舍去。

（2）f(x)在【0,3】内单调递减。
则 f(0) = 5;f(3) = 1;解得 a = 2/9;b = 43/9.
此时函数f(x)的对称轴为 x = 9/2;显然f(x)在【0,3】内是单调递减。
与假设相符

（3）f(x)在【0,3】内不是单调函数，即 f(x)对称轴 x = 1/a 在【0,3】之间
则 0 < 1/a < 3;a > 1/3。
此时f(x)在【0,1/a】单调递减，在【1/a,3】单调递增。
f(1/a) = 1,f(0) = 5;或者 f(1/a) = 1,f(3) = 5;

1)若 f(1/a) = 1,f(0) = 5;
解得 a = 1/4,b = 19/4;与假设 a > 1/3 相矛盾，故舍去。
2)若 f(1/a) = 1,f(3) = 5;
解得 a = 1/3,b = 23/3;与假设 a > 1/3 相矛盾，故舍去。
或a = 1,b = 1;与假设相符，故保留。

综上所述： a = 2/9，b = 43/9 或者 a = 1,b = 1 为正解。

Answer 2

f(x)=ax^2-2x+a+b=a(x-1/a)^2+a-1/a+b
当a<0
f(x)在[0,3]单调递减
∴f(0)=a+b=5
f(3)=10a+b-6=1
得：a=2/9,b=43/9
与前提条件矛盾 舍去

当a=0
f(x)=-2x+b
f(0)=b=5
f(3)=-6+b=1,b=7
矛盾 舍去

当a>0
①0<1/a≤3
f(1/a)=a-1/a+b=1
f(0)=a+b=5
或
f(1/a)=a-1/a+b=1
f(3)=10a+b-6=5
前者得a=1/4 舍去
后者a=1/9（舍去）或a=1
∴a=1,b=4
②1/a>3
f(0)=a+b=5
f(3)=10a+b-6=1
得 a=2/9,b=43/9
综上所述
a=2/9,b=43/9 或 a=1,b=4

Answer 3

解决方法：
①a=0,f(x)=-2x+b 是一条单调递增的直线，有：
-2*0+b=1 b=3
-2*3+b=5 b=11
得 不成立 a!=0
函数的中心轴是x=-(-2)/(2a)=1/a
② 1/a<0 ，a<0, 函数在[0,3]上是单调递减的
x=0,f(x)=a+b=5
x=3,f(x)=10a-6+b=1
a=2/9,b=43/9 不符合要求
③1/a>3,a>0,即0<a<1/3函数在[0,3]上是递减的
同②理知，a=2/9 符合要求
④0<1/a<3,即a>1/3时，最小值在x=1/a处，最大值在x=0或x=3处
即有 1/a-2/a+a+b=1 得 a=1/4<1/3 不符合要求
a+b=5
1/a-2/a+a+b=1 得 a=1/9<1/3 不符合要求
10a-6+b=5 a=1>1/3 符合要求，b=1

Answer 4

解：因为函数f(x)=2asin(2x-π/3）+b的定义域为[0,π/2],值域为[-5,0]
因此：
当x=0时，y=-5；x=5π/12时，y=0。
即：-a√3+b=-5；2a+b=0。
解得：a=10-5√3，b=10√3-20。