Question

正交矩阵有哪些性质?

Answer 1

实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交(非正交规范)列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵。

1、逆也是正交阵；

2、积也是正交阵；

3、行列式的值为正1或负1。

任何正交矩阵的行列式是+1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有+1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）

对于置换矩阵，行列式是+1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。

比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有(复数)绝对值1。

一些重要的矩阵分解涉及到了正交矩阵，包括：

（1）QR分解M=QR,Q正交，R上三角。

（2）奇异值分解M=UΣV,U和V正交，Σ非负对角。

（3）谱分解S=QΛQ,S对称，Q正交，Λ对角。

（4）极分解M=QS,Q正交，S对称非负确定。