Question

如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AB=DC,点P是BC边上任意一点,PE⊥AB于E,

PF⊥CD于F，BG⊥CD于G，那么，BG等于PE与PF的和吗？

Answer 1

首先BG等于PE与PF的和

证明：

过P做PH⊥BG于H点 设BG与PE交于K点

∵在梯形ABCD中 AD//BC AB=DC

∴梯形ABCD为等腰梯形 ∠ABC=∠DCB

∵PE⊥AB BG⊥DC

△BEP∽△CGB

∴∠EPB=∠GBC 即△BKP为等腰三角形 BK=KP

又有PH⊥BG

∴△BEK≌△PHK 

∴EK=HK BK=PK 

∴PE=EK+PK=BK+HK=BH

又BG⊥DC PF⊥CD PH⊥BG

∴PHGF为正方形 则PF=HG

∵BG=BH+HG=EK+PK+PE

∴BG=PE+PF

Answer 2

BG=PE+PF
分别延长BA,CD交于O，连接OP,利用面积
△OBP的面积+△OCP的面积=△OBC的面积
∴1/2OB×PE+1/2OC×PF=1/2OC×BG
∵AD//BC，∴∠OAD=∠OBC,∠ODA=∠OCB,∵AB=CD,∴∠ABC=∠DCB,∴∠OAD=∠ODA,∴OA=OD,∴ OB=OC,∴PE+PF=BG