Question

秩相同线性相关性相同吗

Answer 1

秩相同线性相关性相同。

向量组与其对应的极大无关组等价，但是两者的线性相关性不一定相同，两者的向量个数也不一定相同。

如果 r(A) = k < min(m，n)，则行向量组、列向量组都相关。

如果 r(A) = n < m，则列向量组无关，行向量组相关。

矩阵A称为fA的变换矩阵

这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度。

使用计算机按上述方法求矩阵的秩时，可能涉及浮点数。此时基本高斯消去(LU分解)可能是不稳定的，可以使用奇异值分解(SVD)或有支点(pivoting)的QR分解。