Question

高一数学函数问题 (帮忙)

已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足一下3个条件:
①对任意的x∈[0,1],总有f(x)≥0;②f(1)=1;③若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立,并且称f(x)为"友谊函数),请解答下列各题:
(1)若已知f(x)为"友谊函数",求f(0)的值
(2)函数g(x)=(2^x)-1在区间[0,1]上是否为"友谊函数"?并给出理由.
(3)已知f(x)为"友谊函数",假定存在x0∈[0,1],使得f(x0)∈[0,1]且f[f(x0)]=x0,求证:f(x0)=x0

谢谢大家帮忙啊.~~TOT...急啊...

Answer 1

可令x1=0,x2=0,则得出f(0)<=0,但f(x)>=0,所以f(x)=0
g(x)满足第一个条件，因为当x>=0时，f(x)>=0，同样满足第二个条件，当x=1时，f(x)=1，第三个条件也满足，(2^(x1+x2))-(2^x1)-(2^x2)+1，前两项相加很显然2^(x1+x2)-2^x1为正，而后两项相加也为正，所以f(x1+x2)>f(x1)+f(x2)，成立
反证法，假设不成立，f(x0)=x1,f(x1)=x0,x1不等于x0,不妨令x1>x0,设t=x1-x0，t>0,f(t)>0,则f(x1)=f(x0+t)>=f(x0)+f(t)>x1>x0,与原条件相矛盾，故假设不成立，所以原求证成立，得证

Answer 2

这我们高考复习时的一道题耶，在卷子的最后两题的位置，不简单啊！

Answer 3

1）令x1=x2=0,则由“③若x1≥0,x2≥0,且x1+x2≤1,则有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)成立”得f(0)=2f（0），所以f（0）=0
2）

Answer 4

2.2f(1/2)<1.否为"友谊函数
3.f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)>f(x1),f(x)递增。
f(x0)》x0,f[f(x0)]>x0,同里。f(x0)《x0,f[f(x0)]〈x0

:f(x0)=x0