Question

arctanx的平方等价于什么

Answer 1

arctan(tanx)^2等于2x。

计算如下：

tan(a) = b ；arctan(b) = a

令 tanx =M；则 arctanM=x

由此可得： 2arctan(tanx)=2x

由于y=arcsinx值域是（－π╱2，π╱2）

故arctan(tanx)^2=2x，只在x属于（－π╱2，π╱2）情况下成立

反函数求导法则

如果函数x=f(y)x=f(y)在区间IyIy内单调、可导且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函数y=f−1(x)y=f−1(x)在区间Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}内也可导，且

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

[f−1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy

这个结论可以简单表达为：反函数的导数等于直接函数导数的倒数。