高等数学——无穷级数
一般的，如果给定一个数列
则由这数列构成的表达式
叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数，记为 ，即
其中第 项 叫做级数的一般项。
作（常数项）级数 的前 项的和
称为级数 的部分和，当 依次取 时，它们构成一个新的数列
如果级数 的部分和数列 有极限 ，即
称无穷级数 收敛，这时极限 叫做这级数的和，并写成
如果 没有极限，则称无穷级数 发散。
显然当级数收敛时，其部分和 是级数的和 的近似值，它们之间的差值
叫做级数的余项，用近似值 代替和 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差是 。
性质 1 如果级数 收敛于和 ，则级数 也收敛，且其和为 。
结论：级数的每一项同乘以一个常数后，它的收敛性不会改变。
性质 2 如果级数 、 收敛于 和 ，则级数 也收敛，且其和为
结论：两个收敛级数可以逐项相加与逐项相减。
性质 3 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性。
性质 4 如果级数 收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数
仍收敛，且其和不变。
推论 如果加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。
性质 5（级数收敛的必要条件） 如果级数 收敛，则它的一般项 趋于零，即
柯西审敛原理 级数 收敛的充分必要条件为：对于任意给定的正数 ，总存在正整数 ，使得当 时，对于任意的正整数 ，都有
定理 1 正向级数 收敛的充分必要条件是：它的部分和数列 有界（各项均为正数或零的级数称为正向级数）。
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定理 2（比较审敛法） 设 和 都是正向级数，且 ，若级数 收敛，则级数 收敛，若级数 发散，则级数 发散。
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推论 设 和 都是正向级数，如果级数 收敛，且存在正整数 ，使当 时有 成立，则级数 收敛；如果级数 发散，且当 时有 成立，则级数 发散。
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定理 3（比较审敛法的极限形式） 设 和 都是正向级数，
(1) 如果 ，且级数 收敛，则级数 收敛；
(2) 如果 或 ，且级数 发散，则级数 发散。
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定理 4（比值审敛法 达朗贝尔判别法） 设 为正向级数，如果
则当 时级数收敛， 时级数发散， 时级数可能收敛也可能发散。
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定理 5（根值审敛法 柯西判别法） 设 为正向级数，如果
则当 时级数收敛， 时级数发散， 时级数可能收敛也可能发散。
<br />
定理 6（极限审敛法） 设 为正向级数，
(1) 如果 ，则级数 发散。
(2) 如果 ，而 ，则级数 收敛。
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定理 7（莱布尼茨定理） 如果交错级数 满足条件：
(1) ；
(2)
则级数收敛，且其和 ，其余项 的绝对值 。
（交错级数的各项是正负交错的）
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绝对收敛与条件收敛 如果级数 各项的绝对值所构成的正向级数 收敛，则称级数 绝对收敛；如果级数 收敛，而级数 发散，则称级数 条件收敛。
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定理 8 级数 绝对收敛，则级数 必定收敛。
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定理 9 绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）。
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定理 10（绝对收敛级数的乘法） 设 和 都绝对收敛，其和分别为 和 ，则它们的柯西乘积
也是绝对收敛的，且其和为 。
如果给定一个定义在区间 上的一个函数列
则由这函数列构成的表达式
称为定义在区间 上的（函数项）无穷级数，简称（函数项）级数。
在收敛域上，函数项级数的和是 的函数 ，称 为函数项级数的和函数，并写成
各项都是幂函数的函数项级数称为幂级数，它的形式是
其中常数 叫做幂级数的系数。
定理 1 如果幂级数 当 时收敛，则适合不等式 的一切 使这幂级数绝对收敛。反之，如果级数 当 时发散，则适合不等式 的一切 使这幂级数发散。
推论 如果幂级数 不是仅在 一点收敛，也不是在整个数轴上都收敛，则必有一个确定的 存在，使得
当 时，幂级数绝对收敛；
当 时，幂级数发散；
当 时，幂级数可能收敛也可能发散。
正数 通常叫做幂级数的收敛半径，开区间 叫做幂级数的收敛区间。
定理 2 如果
其中 、 是幂级数 相邻两项的系数，则这幂级数的收敛半径
性质 1 幂级数 的和函数 在其收敛域 上连续。
性质 2 幂级数 的和函数 在其收敛域 上可积，并有逐项积分公式
逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
性质 3 幂级数 的和函数 在其收敛区间 上可导，并有逐项求导公式
逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径。
假设函数 在点 的领域 内能展开成幂级数，即有
根据和函数的性质可知， 在 内具有任意阶导数，且
由此可得
于是
这就说明，如果函数 有幂级数展开式 ，那么该幂级数的系数 由公式 确定，即该幂级数必为
而展开式必为
幂级数 叫做函数 在点 处的泰勒级数，展开式 叫做函数 在点 处的泰勒展开式。
定理 设函数 在点 的领域 内具有各阶导数，则 在该领域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是在该邻域内 的泰勒公式中的余项 当 的极限为零，即
当 时，在 式中，取 ，得
级数 称为函数 的麦克劳林级数，如果 能在 内展开成 的幂级数，则有
式称为函数 的麦克劳林展开式。
常用的幂级数展开式
对 式两边从 到 积分，可得
对 式两边求导，即得
把 式中 换成 ，可得
把 式中 换成 ，可得
对上式从 到 积分，可得
二项展开式
设 是周期为 的周期函数，且能开展称三角级数
其中
如果 中的积分都存在，这时他们定出的系数 叫做函数 的傅里叶系数，将这些系数代入 式右端，所得的三角级数
做函数 的傅里叶级数。
当 为奇函数时， 是奇函数， 是偶函数，故
即奇函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数
当 为偶函数时， 是偶函数， 是奇函数，故
即偶函数的傅里叶级数是只含有余弦项的余弦级数
定理（收敛定理，狄利克雷充分条件） 设 是周期为 的周期函数，如果它满足
(1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点，
(2) 在一个周期内至多只有有限个极值点，
则 的傅里叶级数收敛，并且
(1) 当 是 的连续点时，级数收敛于 ；
(2) 当 是 的间断点时，级数收敛于
定理 设周期为 的周期函数
