Question

高等代数理论基础51：不变子空间

Answer 1

定义：设 是数域P上线性空间V的线性变换,W是V的子空间,若W中的向量在 下的像仍在W中,即 ,有 ,则称W是 的不变子空间,简称 -子空间

例：

1.整个空间V和零子空间 ,对每个线性变换 都是 -子空间

2. 的值域与核都是 -子空间

由定义, 的值域 是V中的向量在 下的像的集合,包含 中向量的像,故 是 的不变子空间

的核为被 变成零的向量的集合,核中向量的像是零,在核中,故核是不变子空间

3.若线性变换 与 是可交换,则 的核与值域都是 -子空间

在 的核 中任取一向量 ,则

故 在 中的像为零,即 ,故 是 -子空间

,则 ,故 也是 -子空间

的多项式 和 可交换,故 的值域与核都是 -子空间

4.任一子空间都是数乘变换的不变子空间

由定义,子空间对数乘变换封闭

设W是一维 -子空间, 是W中任一非零向量,构成W的基,由 -子空间的定义, ,是 的一个倍数

即 是 的特征向量,W为由 生成的一维 -子空间

反之,设 是 属于特征值 的一个特征向量,则 及它的任一倍数在 下的像是原像的 倍,仍是 的一个倍数

即 的倍数构成一个一维 -子空间

显然, 的属于特征值 的特征子空间 也是 的不变子空间

-子空间的和与交还是 -子空间

设 是线性空间V的线性变换,W是 的不变子空间,W中向量在 下的像仍在W中,故可不必在整个空间V中考虑 ,只在不变子空间W中考虑 ,即将 看作W的一个线性变换,称为 在不变子空间W上引起的变换,记作

注： 是V的线性变换,V中每个向量在 下都有确定的像

是不变子空间W上的线性变换, ,有

对V中不属于W的向量 , 没有意义

例：任一线性变换在它的核上引起的变换是零变换,在特征子空间 上引起的变换是数乘变换

显然,若线性空间V的子空间W是由向量组 生成的,即 ,则W是 -子空间的充要条件为

必要性显然

充分性,若

可被 线性表示,即

故

1.设 是n维线性空间V的线性变换,W是V的 -子空间,在W中取一组基 ,且扩充成V的一组基 ,则 在这组基下的矩阵为

且k级矩阵 是 在W的基 下的矩阵

是 -子空间,故像 仍在W中,可通过W的基 线性表示

故 在基下的矩阵具有形状

在W的基 下的矩阵是

反之,若 在基下的矩阵为 ,则易证 生成的子空间W是 的不变子空间

2.设V分解成若干 -子空间的直和

,在每个 -子空间 中取基 ,且将它们合并成V的一组基I,则在该组基下, 的矩阵具有准对角形状

其中 即 在基 下的矩阵

反之,若线性变换 在基I下的矩阵是准对角形,则由基 生成的子空间 是 -子空间

注：矩阵分解为准对角形与空间分解为不变子空间的直和是相当的

定理：设线性变换 的特征多项式为 ,可分解成一次因式的乘积 ,则V可分解成不变子空间的直和 ,其中

证明：

定义：V, , 如上定理,则称 为 的属于特征值 的根子空间,记作