Question

已知微分方程y'-y=2,y(0)=1？

Answer 1

已知微分方程y'-y=2,y(0)=1，属于一阶非齐次线性微分方程的初值问题。
求解方法：1、先求其齐次线性微分方程；2、再用常数变易法求其通解；3、最后求其特解
解：对应的齐次方程
y'-y=0
分离变量，并积分得
dy/dx=y
dy/y=dx
lny=x+C
y=C1e^x
设方程的通解为
y=C1(x)e^x
则 y'=C1'(x)e^x+C1(x)e^x
代入原方程，得
C1'(x)e^x+C1(x)e^x-C1e^x=2
C1'(x)e^x=2
C1'(x)=2e^(-x)
积分，得
C1(x)=-2e^(-x)+C
所以，方程的通解为
y=(-2e^(-x)+C)e^x
当x=0时，y(0)=(-2e^(-0)+C)e^0=1，得
C=1+2=3
因此，方程的特解为
y=(-2e^(-x)+3)e^x