Question

二次函数的一般形式及应用

Answer 1

悬赏分：0 - 解决时间：2006-12-16 14:16
在函数ax^2+bx+c中.a,b,c的取植答对图象有什么影响?
提问者： 八一奇军 -
二级
最佳答案
y=ax2
学习要求:
1．知道
的意义．
2．会用描点法画出函数y＝ax2的图象,知道
的有关概念．
重点难点解析
1.本节重点是二次函数的概念和二次函数y＝ax2的图象与性质；难点是根据图象概括二次函数y＝ax2的性质.
2.形如＝ax2+bx+c(其中a、b、c是常数,a≠0)的函数都是二次函数.解析式中只能含有两
个变量x、y,且x的二次项的系数不能为0,
x的取值范围通常是
,但在实际问题中应使实际量有意义.如
S与圆半径R的关系式S＝πR2中,半径R只能取
.
3.
y＝ax2的形状是由a决定的.a的符号决定
的开口方向,当a＞0时,开口向上,抛物线在y轴的上方(顶点在x轴上),并向上无限延伸；当a＜0时,开口向下,抛物线在x轴下方(顶点在x轴上),并向下无限延伸.｜a｜越大,开口越小；｜a｜越小,开口越大.
4.画抛物线y＝ax2时,应先列表,再描点,最后连线.列表选取
x值时常以0为中心,选取便于计算、描点的整数值,描点连线时一定要用
连接,并注意变化趋势.
本节命题主要是考查二次函数的概念,二次函数y＝ax2的图象与性质的应用.
核心知识
规则1
二次函数的概念:
一般地,如果是常数,那么,y叫做x的二次函数．
规则2
抛物线的有关概念:
图13-14
如图13-14,函数y=x2的图象是一条关于y
的曲线,这条曲线叫抛物线．实际上,二次函数的图象都是抛物线．抛物线y=x2是开口向上的,y轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点．
规则3
抛物线y=ax2的性质:
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点,当a＞0时,抛物线y=ax2的开口向上,当a＜0时,抛物线y=ax2的开口向下．
规则4
1.二次函数的概念
(1)定义：一般地,如果y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么,y叫做x的的二次函数. (2)二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征是：等号左边是函数y,右边是
x的二次式,x的最高次数是2.其中
b和
c可以是任意实数,而
a必须是非零实数,即a≠0.
2.二次函数y＝ax2的图像
图13-1
用描点法画出二次函数y＝x2的图像,如图13-1,它是一条关于y
的曲线,这样的曲线叫做抛物线.
因为抛物线y＝x2关于y
,所以y轴是这条抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点,从图上看,抛物线y＝x2的顶点是图象的最低点.因为抛物线y＝x2有最低点.所以函数y＝x2有最小值,它的最小值就是最低点的纵坐标.
3.二次函数y＝ax2的性质
函数
图像
开口方向
对称轴
函数变化
最大(小)值
y=ax2
a＞0
向上
(0,0)
Y轴
x＞0时,y随x增大而增大；
x＜0时,y随x增大而减小.
当x＝0时,y最小＝0.
y=ax2
a＜0
向下
(0,0)
Y轴
x＞0时,y随x增大而减小；
x＜0时,y随x增大而增大.
当x＝0时,y最大＝0.
4.二次函数y＝ax2的图像的画法
用描点法画二次函数y＝ax2的图像时,应在顶点的左、右
地选取自变量x的值,然后计算出对应的y值,这样的对应值选取越密集,描出的图像越准确.
二次函数y=ax2+bx+c
学习要求：
1．会用描点法画出二次函数的图象．
2．能利用图象或通过配方确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点、的位置．
*3．会由已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式．
重点难点
1.本节重点是二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质的理解及灵活运用,难点是二次函数y＝ax2+bx+c的性质和通过配方把解析式化成y＝a(x-h)2+k的形式.
2.学习本小节需要仔细观察归纳图象的特点以及不同图象之间的关系.把不同的图象联系起来,找出其共性.
一般地几个不同的二次函数,如果
a相同,那么抛物线的开口方向、开口大小(即形状)完全相同,只是位置不同.
任意抛物线y＝a(x-h)2+k可以由抛物线y＝ax2经过适当地平移得到,具体平移方法如下图所示：
注意：上述平移的规律是：“h值正、负,右、左移；k值正、负,上、下移”实际上有关抛物线的平移问题,不能死记硬背平移规律,只要先将其解析式化为
,然后根据它们的顶点的位置关系,确定平移方
移的距离非常简便.
图13-11
例如,要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系,可将y＝x2-2x+3通过配方变成
y＝(x-1)2+2,求出其顶点M1(1,2),因为L2的顶点为M2(0,0),根据它们的顶点的位置,容易看出：由L2向右平移1个单位,再向上平移2个单位,即得L1；反之,由L1向左平移1个单位,再向下平移2个单位,即得L2.
二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y＝ax2的图
状完全一样,它们的性质也有相似之处.当a＞0时,两条抛物线的开口都向上,并向上无限延伸,抛物线有最低点,y有最小值,当a＜0时,开口都向下,并向下无限延伸,抛物线有最高点,y有最大值.
3.画抛物线时一定要先确定开口方向和对称轴、顶点位置,再利用函数
列表,这样描点连线后得到的才是完整的,比较准确的图象.否则画出的图象,往往只是其中一部分.例如画y＝- (x+1)2-1的图象.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点,连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象.
正由解析式可知,图象开口向下,对称轴是x＝-1,
是(-1,-1)
列表：
x
-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-12
4.用
将二次函数y＝ax2+bx+c化成y＝a(x-h)2+k的形式,首先要提出
a.常犯的错误只提第一项,后面漏提.如y＝- x2+6x-21 写成y＝- (x2+6x-21)或y＝- (x2-12x-42)把符号弄错,主要原因是没有掌握添括号的规则.
本节命题主要考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象和性质及其在实际生活中的运用.既有填空题、选择题,又有解答题,与方程、几何、
的综合题常作为中考
.
核心知识
规则1
抛物线 y=a(x-h)2+k 的性质:
一般地,抛物线 y=a(x-h)2+k 与 y=ax2 形状相同,位置不同．抛物线 y=a(x-h)2+k 有如下特点：
(l) a＞0时,开口向上；a＜0时,开口向下；
(2) 对称轴是直线x＝h；
(3)
是(h,k)．
规则2
二次函数 y=ax2+bx+c 的性质:
y=ax2+bx+c （ a,b,c 是常数,a≠0）是二次函数,图象是抛物线．利用配方,可以把二次函数表示成 y=a(x-h)2+k 的形式,由此可以确定这条抛物线的对称轴是直线 ,顶点坐标是 ,当a＞0时,开口向上；a＜0时,开口向下．
规则3
1.二次
的几种形式
(1)
：y＝ax2+bx+c (a,b,c为常数,a≠0).
(2)
：y＝a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0).
(3)两
：y＝a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2是抛物线与x轴的交点的横坐标,即
ax2+bx+c＝0的两个根,a≠0.
说明：(1)任何一个二次函数通过配方都可以化为顶点式y＝a(x-h)2+k,抛物线的顶点坐标是(h,k),h＝0时,抛物线y＝ax2+k的顶点在y轴上；当k＝0时,抛物线a(x-h)2的顶点在x轴上；当h＝0且k＝0时,抛物线y＝ax2的顶点在原点.
(2)当抛物线y＝ax2+bx+c与x轴有交点时,即对应
ax2+bx+c＝0有
x1和
x2存在时,根据二次
的分解公式ax2+bx+c＝a(x-x1)(x-x2),二次函数y＝ax2+bx+c可转化为两
y＝a(x-x1)(x-x2).
2.二次
的确定
确定二次
,一般仍用
.由于二次函数解析式有三个待定系数a、b、c(或a、h、k或a、x1、x2),因而确定二次函数解析式需要已知三个独立的条件.当已知抛物线上任意三个点的坐标时,选用
比较方便；当已知抛物线的顶点坐标时,选用顶点式比较方便；当已知抛物线与x轴两个点的坐标(或横坐标x1,x2)时,选用两
较为方便.
注意：当选用顶点式或两根式求二次函数解析式时,最后一般都要化
.
3.二次函数y＝ax2+bx+c的图像
二次函数y＝ax2+bx+c的图像是对称轴平行于(包括重合)y轴的抛物线.
4.二次函数的性质
根据二次函数y＝ax2+bx+c的图像可归纳其性质如下表：
函数
二次函数y＝ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
图
像
a＞0
a＜0
(1)抛物线开口向上,并向上无限延伸.
(2)对称轴是x＝- ,顶点坐标是(- , ).
(3)当x＜- 时,y随x的增大而减小；当x＞- 时,y随x的增大而增大.
(4)抛物线有最低点,当x＝- 时,y有最小值,y最小值＝ .
(1) )抛物线开口向下,并向下无限延伸.
(2)对称轴是x＝- ,顶点坐标是(- , ).
(3)当x＜- 时,y随x的增大而增大；当x＞- 时,y随x的增大而减小.
(4)抛物线有最高点,当x＝- 时,y有最大值,y最大值＝ .
5.求抛物线的顶点、对称轴、最值的方法
①
：将解析式化为y＝a(x-h)2+k的形式,顶点坐标(h,k),对称轴为直线x＝h,若a＞0,y有最小值,当x＝h时,y最小值＝k,若a＜0,y有最大值,当x＝h时,y最大值＝k.
②
：直接利用顶点坐标公式(- , ),求其顶点；对称轴是直线x＝- ,若a＞0,y有最小值,当x＝- 时,y最小值＝ ,若a＜0,y有最大值,当x＝- 时,y最大值＝ .
6.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的画法
因为二次函数的图像是抛物线,是
,所以作图时常用简化的描点法和五点法,其步骤是：
(1)先找出顶点坐标,画出对称轴；
(2)找出抛物线上关于对称轴的四个点(如与
的交点等)；
(3)把上述五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来.
7.二次函数y＝ax2+bx+c的图像的位置与a、b、c及Δ符号有密切的关系(见下表)：
项
目
字
母
字母的符号
图像的位置
a
a＞0
a＜0
开口向上 开口向下
b
b=0 ab＞0 ab＜0
对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧
c
c=0 c＞0 c＜0
经过原点 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交
8.二次函数与
的关系
二次函数y＝ax2+bx+c的图像(抛物线)与x轴的两个交点的横坐标x1、x2,是对应的
ax2+bx+c＝0的两个
.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元
的根的
判定：
Δ＞0 抛物线与x轴有2个交点；
Δ＝0 抛物线与x轴有1个交点；
Δ＜0 物线与x轴有0个交点(没有交点).
回答者：绝情落叶 - 助理 二级 12-10 14:34