Question

为什么两个奇函数的和是奇函数？为什么两个奇函数的积是偶函数呢？

Answer 1

已知：函数y=f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数.求证：（1）F(x)=f(x)+g(x)是奇函数.（2）G(x)=f(x).g(x)是偶函数。
证明：（1）函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.
∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，
∴对任意x∈D有
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，
∴F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
即对任意x∈D有 F(-x)=-F(x)成立。
故F(x)为奇函数。
所以两个奇函数的和是奇函数。
（2））函数F(x)=f(x)+g(x)的定义域为D，当x∈D时，-x∈D.
∵f(x)在区间D上是奇函数，函数y=g(x)在区间D上是奇函数，
∴对任意x∈D有
f(-x)=-f(x)，g(-x)=-g(x)成立，
∴G(-x)=f-(x).g(-x)=[-f(x)].[-g(x)]=f(x).g(x)=G(x)
即对任意x∈D有 G(-x)=G(x)成立。
故G(x)为偶函数。
所以两个奇函数的积是偶函数。