Question

设a，b，c均为正实数，且a+b=c，求证：a^(2/3)+b^(2/3)>c^(2/3)

求详细过程！

Answer 1

楼上的都太繁了，这里给个利用函数单调性的简证：
证明：
构造函数f(x)=x^(2/3)
令F(x)=f(x)/x=x(-1/3)
显然，当x>0时，F(x)为减函数。
而我们所证即f(a)+f(b)>f(a+b),而f(a+b)=(a+b)F(a+b)
又注意到f(a)+f(b)=af(a)/a+bf(b)/b=aF(a)+bF(b)
于是上式又等价于：aF(a)+bF(b)>(a+b)F(a+b)
因为必有a<a+b,b<a+b
由F(x)单调性知：F(a)>F(a+b),F(b)>F(a+b)，
于是aF(a)+bF(b)>aF(a+b)+bF(a+b)=(a+b)F(a+b)

得证。。

Answer 2

证明由平均值定理得
a/b+b/a≥2√(( a/b)×(b/a))=2>2/3，两边乘3得
3a/b+3b/a>2, 两边乘ab得
3a^(4/3)b^(2/3)+3a^(2/3)b^(4/3)>2ab,(1)
由a+b=c得,
a^2+b^2+2ab=c^2(2)
(1)+(2)得
a^2+3a^(4/3)b^(2/3)+3a^(2/3)b^(4/3)+b^2>c^2,
(a^(2/3)+b^(2/3))^3>(c^(2/3)^3,两边开立方得
a^(2/3)+b^(2/3)>c^(2/3)

Answer 3

我用反证法
要证 a^(2/3)+b^(2/3)>c^(2/3)
既证 c^(2/3)=(a+b)^(2/3)=（a^2+2ab+b^2)^(1/3)＜a^(2/3)+b^(2/3）
既证 a^2+2ab+b^2＜[a^(2/3)+b^(2/3）]^3=a^2+3a^(4/3)×b^(2/3)+3a^(2/3)×b^(4/3)+b^2
既证 2ab＜3(ab)^(2/3)×[a^(2/3)+b^(2/3)]
既证 1.5（ab)^(-1/3)×[a^(2/3)+b^(2/3)]＞0
因为a，b，c均为正实数
所以 1.5（ab)^(-1/3)×[a^(2/3)+b^(2/3)]＞0
所以a^(2/3)+b^(2/3)>c^(2/3)