Question

函数图形凹凸问题

利用函数凹凸性证明不等式：
xlnx+ylny>（x+y）ln[（x+y）/2]
(x>0,y>0,x不等于y)

Answer 1

设f(t)=tlnt,则求导得f'(t)=1+lnt,f''(t)=1/t（t>0）
由f''(t)=1/t>0（t>0）知f(t)在t>0时为严格下凸函数，因此由Jensen（琴生）不等式可得
1/2[f(x)+f(y)]>=f((x+y)/2)
即xlnx+ylny>=（x+y）ln[（x+y）/2]
由x不等于y知等号不能成立，因此
xlnx+ylny>（x+y）ln[（x+y）/2]