Question

奥数比赛题解（急）

猜测
(4X平方)/（1+4X平方）=Y
（4Y平方）/（1+4y平方）=Z
（4Z平方）/（1+4Z平方）=X
有几组实数解写下来

Answer 1

x，y，z要么同时为零，要么同时不为零
首先x=y=z=0显然成立
若x，y，z不为零，三个等式分别取倒数，得
1+(1/2x)^2=1/y(^2是平方的意思)
1+(1/2y)^2=1/z
1+(1/2z)^2=1/x,三式相加后移项，配方得
[(1/2x)^2-1/x+1]+[(1/2y)^2-1/y+1]+[(1/2z)^2-1/z+1]=0
(1/2x-1)^2+(1/2y-1)^2+(1/2z-1)^2=0
得到1/2x=1/2y=1/2z=1
∴x=y=z=1/2
综上，实数解共有2组x=y=z=0或x=y=z=1/2

Answer 2

有l两组实数解，将三个式子左右两边分别取倒数，即1/Y=1+1/（4X平方）；1/Z=1+1/（4Y平方）；1/X=1+1/（4Z平方）。三个式子相加，即1/Y+1/Z+1/X=1+1/（4X平方）+1+1/（4Y平方）+1+1/（4Z平方）；左右一道右边，即有1+1/（4X平方）+1+1/（4Y平方）+1+1/（4Z平方）-（1/Y+1/Z+1/X）=0，将这个式子整理一下有1+1/（4X平方）-1/X+1+1/（4Y平方）-1/Y+1/X+1+1/（4Z平方）-1/Z=0，即（1-1/（2X））平方+（1-1/（2Y））平方+（1-1/（2Z））平方=0，所以只能有（1-1/（2X））平方=0，（1-1/（2Y））平方=0，（1-1/（2Z））平方=0。所以X=Y=Z=1/2 。同时X=Y=Z=0显然成立