Question

一道高一数学题（请进！请详细说明！谢谢！）

在R上定义运算⊙:x⊙y=x(1-y),若不等式（x-a）⊙(x+a)<1对任意实数x成立，则a的范围是__________

Answer 1

定义运算⊙:x⊙y=x(1-y)
就是指把定义⊙前的表达式代入x(1-y)中的x位置，相应⊙后的表达式代入x(1-y)中的y位置，因此（x-a）⊙(x+a)=（x-a）*[1-(x+a)]=(x-a)*(-x-a+1)
这题就是：(x-a)*(-x-a+1)<1对任意实数x成立，求a的范围。
展开：-x^2+ax-ax+a^2+x-a<1
等价于：x^2-x-a^2+a+1>0
等价于：(x-1/2)^2-a^2+a+3/4>0
当x取1/2时，(x-1/2)^2-a^2+a+3/4为最小值，也就是说，只要x=1/2时能满足(x-1/2)^2-a^2+a+3/4>0，那么无论x取什么实数值，这一不等式都能成立。
因此，(1/2-1/2)^2-a^2+a+3/4>0 即a^2-a-3/4<0
4a^2-4a-3<0
(2a-3)*(2a+1)<0
-1/2<a<3/2

Answer 2

（x-a)(1-x-a)<1
整理得x-x²-a+a²-1<0
R上求x-x平方最大值后面自己算吧

Answer 3

（x-a）⊙(x+a)<1
(x-a)(1-x-a)＜1
-x²+x-a+a²-1＜0
x²-x+a-a²+1＞0
令f(x)=x²-x+a-a²+1
这是一个二次函数
这个函数的值恒大于0
即图像永远在x轴上方
又因二次项系数大于0
所以开口向上
恒在x轴上方，即与x轴无交点
方程x²-x+a-a²+1=0无解
△＜0
1-4（a-a²+1）＜0
4a²-4a-3＜0
分解因式
（2a+1)(2a-3)＜0
-1/2<a<3/2

Answer 4

不等式左边等于：
（x-a）（1-x-a）
= x-x²-ax-a+ax+a²
= -x²+x+a²-a
配方
=-（x-1/2）平方+a²-a+1/4
即求：-（x-1/2）平方+a²-a+1/4<1
变形后：
（x-1/2）平方-a²+a+3/4>0
由非负数的性质：
要保证（x-1/2）平方-a²+a+3/4>0对于任意x都成立，则必须使-a²+a+3/4恒大于0。即-a²+a+3/4>0
解不等式即可得到a的范围是-1/2到2/3。

记得加分。。。