Question

如果正整数n的若干倍是一个完全由数字5构成的正整数,则称n为好数.试求1到100中,有多少个好数？

如果正整数n的若干倍是一个完全由数字5构成的正整数，则称n为好数。试求1到100中，有多少个好数？

Answer 1

编程搜索了一下，1到100中有48个好数。

也就是奇数中，除了25和75，其它都是好数。

程序对 5，55，555，5555 .... 一直到10000个5构成的大整数进行了验证，计算它们是否能被1到100的数整除，能够整除的除数就列为好数，并记录好数对应于几个5构成的数字。

例如：18个5
99×5611672278338945 = 555555555555555555

又如：48个5
51×10893246187363834422657952069716775599128540305
= 555555555555555555555555555555555555555555555555

尽管搜寻需要通过编程，但是验证它们确实非常容易的事情，手工计算验证上面这个48位的大整数乘法，也只需要一两分钟的时间。用竖式计算：

附：计算结果和fortran代码

追问

我主要是想知道怎么用分析、推理的方法解答这问题。
据说可利用欧拉定理去解，但我没会。你可以帮我吗？谢谢！

追答

这个问题无法通过数学推导方法来求解。

欧拉定理有助于加速大整数的分解。实际上，解答本问题，通过分解n个5组成的大整数来反求1到100内的因数，其效率反而比1到100分别去试除更低。

2022-05-08 补充

关于扩充的好数概念的验证计算

结果与题主在评论区的分析相符。附：计算结果和fortran代码。