Question

平行四边形ABCD,AB=2CB,∠DAB=60°,P是BD上一动点,求向量AP×向量AC的范

Answer 1

以 A 为 原点， AB 为 x 轴， 建立直角坐标系。
取 |AB| = 4， 则 |AD| = |BC| = 2，∠DAB=60°
得 B(4, 0), D(1, √3)， C(3, √3)，
直线 BD 方程 (y-0)/(x-4) = (√3-0)/(1-4), x+√3y = 4 .
设动点 P(4-√3y, y), 则向量 AP = (4-√3y, y) ，向量 AC = (3, √3),
AP， AC 是共面向量。其叉积是 与 xOy平面垂直的向量
向量AP × 向量AC =
| i j k|
|4-√3y y 0|
|3 √3 0|
= (4√3 - 6y)k, 其范数即模是 4√3 - 6y， 其值随 P 的纵坐标变化。