基础解系所含解向量的个数是多少?
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基础解系所含解向量的个数为n-r个。
对系数矩阵A进行初等行变换,将其化为行阶梯形矩阵;若r(A)=r=n(未知量的个数),则原方程组仅有零解,即x=0,求解结束。
若r(A)=r<n(未知量的个数),则原方程组有非零解,继续将系数矩阵A化为行最简形矩阵,并写出同解方程组;选取合适的自由未知量,并取相应的基本向量组,代入同解方程组,得到原方程组的基础解系,进而写出通解。
对于齐次线性方程组:
知道至少有一个解就是当所有未知数取0的n维零向量,称之为平凡解;那么求齐次线性方程组实际上是来求非平凡解的过程;当然,齐次线性方程组一定有解。
其实有一个结论,就是对齐次线性方程组而言,当未知数的个数n大于方程组的个数m时,方程组的解一定有非平凡解,并且一定有无穷多个。当然,这无穷多个是一条直线,一个平面还是一个超平面,那不一定,未知数表达了自由维数的概念,而方程则是一种限制。
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