Question

聚点的意思,是不是内点+边界点,为什么聚点有可能不属于E?

Answer 1

集合E的聚点就是极限点,定义是包含该点的任意小球（或邻域）内都包含E的无限多个点.
例如：
1、康托集合（Cantor set）的所有的点都是聚点.
2、S是区间[2, 3]中的有理数,则[2, 3]中的所有点都是聚点.
3、集合[0, 1]与{1.5}的并集的聚点是[0, 1]的所有点,但不包括1.5该点.
4、区间(1, 2)的聚点是[1, 2]中的所有点.
以上例子中,例1和例2的集合根本不存在内点,所有的聚点都是它的边界点.例3中包含了所有内点,却没有包含边界点1.5；而例4中包含了所有的内点与边界点.
从以上例子中容易看出,开区间的端点是聚点,但是不属于该区间；一个稠密的集合中,非常容易找出不属于该集合的聚点（例2中的无理数）.