Question

解向量的秩为什么是n-r？

Answer 1

因为n元齐次线性方程组Ax=0的系数矩阵的秩R(A)=r<n，则解空间S的基础解系存在，且每个基础解系恰有n-r个解向量。

当A不满秩时，例如：r(A)=n-1时Ax=0，显然有一个自由变量。因此，基础解系中，解向量个数是1=n-r。

因此，基础解系中，解向量个数是1=n-r以此类推，可以发现r(A)+解向量个数=n。

解向量：

有些方程组会有无数组解，有时只有唯一解，有唯一解释叫方程组的特解；矩阵的特征值在很多地方都有用如：如果n阶矩阵A满足矩阵多项式方程g(A)=0, 则矩阵A的特征值m一定满足条件g(m)=0;特征值m可以从解方程g(m)=0求得。