Question

泰勒公式按幂展开的解释是什么？

Answer 1

泰勒展开式都是幂函数。因为幂函数一旦与相应的阶乘组合，就可以在对应阶数求导后消失，只留下各阶导数值。

在这种意义上，泰勒展开并不是唯一的，因为任何在对应阶求导后能够消失并只留下导数值的函数，都可以作为泰勒展开的备胎。可惜的是，幂函数与阶乘的组合，是我们已知的唯一具有上述性质的函数，因此，这种唯一性决定了泰勒展开能够且仅能够由幂函数表示。

泰勒公式的灵魂是导数值，而非幂函数。在展开的这一点，泰勒展开式与f(x)的每一阶导数值都完全相等。而这种“各阶导数值相等”，揭示了多项式函数和它想要替代的复杂函数f(x)在每一个维度上完全相同的奇妙的事实。

泰勒公式的几何意义

泰勒公式的几何意义是利用多项式函数来逼近原函数，由于多项式函数可以任意次求导，易于计算，且便于求解极值或者判断函数的性质，因此可以通过泰勒公式获取函数的信息，同时，对于这种近似，必须提供误差分析，来提供近似的可靠性  。

除了一元泰勒公式外，多元泰勒公式的应用也非常广泛，特别是在微分方程数值解和最优化上有着很大的作用 。