Question

椭圆弦长公式推导是什么?

Answer 1

椭圆弦长公式是AB=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]。

椭圆弦长公式是一个数学公式，关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x（或关于y）的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。

推导过程：

设直线y=kx+b。

代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1，设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)，则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]，把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入,则有：

AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²。

=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]。

=│x1-x2│ √ (1+k²)　同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]。

直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线 A!=0，B!=0）。

直线：Ax+By+C=0。

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1。

求直线和椭圆的交点：

(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0。

令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2)。

n=2*B*C。

p=C^2-A^2*a^2。

令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2)。

n1=2*AC。

p1=C^2-B^2*b^2。

得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m。

当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1。

当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1。

Answer 2

椭圆弦长推导公式如下图：

推导过程：

设直线y=kx+b，代入椭圆的方程可得：x²/a²+ (kx+b)²/b²=1

设两交点为A、B，点A为（x1,y1)，点B为(x2,y2)，则有AB=√ [(x1-x2)²+(y1-y2)²]

把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别代入，则有：AB=√ [(x1-x2)²+(kx1-kx2)²=√ [(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]=│x1-x2│ √ (1+k²)

同理可以证明：弦长=│y1-y2│√[(1/k²)+1]

直线和椭圆的交点（默认一定存在交点，且直线 A!=0，B!=0;）

直线：Ax+By+C=0

椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1

求直线和椭圆的交点：(B^2+(A^2*a^2)/b^2)*y^2 + 2*B*C*y+C^2-A^2*a^2=0

令m=(B^2+(A^2*a^2)/b^2);n=2*B*C;p=C^2-A^2*a^2

令m1=(A^2+(B^2*b^2)/a^2);n1=2*AC;p1=C^2-B^2*b^2

得到y=(-n±√(b^2-4*m*p))/2*m

当y=(-n-√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1-√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1

当y=(-n+√(b^2-4*m*p))/2*m;x=(-n1+√(b1^2-4*m1*p1))/2*m1 

基本性质：

椭圆弦长公式是关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。

求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。