Question

矩阵的秩和特征值有什么关系？

Answer 1

特征值与秩的关系：如果矩阵可以对角化，那么非0特征值的个数就等于矩阵的秩如果矩阵不可以对角化，这个结论就不一定成立。

证明：

定理1：n阶方阵A可相似对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

定理2：设A为n阶实对称矩阵，则A必能相似对角化。

定理3：设A为n阶实对称矩阵，矩阵的秩r（A）＝k，（0<k<n，k为正整数），则λ＝0恰为A的n-k重特征值。

定理4：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）＝k，（0<k<n，k为正整数），则λ＝0至少为A的n-k的重特征值。

定理5：设A为n阶方阵，矩阵的秩r（A）＝k，（0<k<n，k为正整数），且A可相似对角化，则λ＝0恰为A的n-k重特征值。

定理6：设A为n阶方阵，矩阵的秩rf（A）＝k，（0<k<n，k为正整数），且A可对角化，则λ＝0恰为f（A）的n-k重特征值。