Question

为什么陀螺会转

Answer 1

一个固定了旋心并倾斜旋转的陀螺受到两个旋矩的作用,一个是重力旋矩,另一个是使陀螺旋转与水平面平行的旋矩,在这两个旋矩的作用下又产生了绕心进动的旋矩.在这里旋矩等于向心加速度乘以旋臂.
因为重力旋矩和让陀螺旋转的旋矩都是向心作用的,但它们的作用方向却成90度角的同心垂直交叉作用.可以建矢量坐标来表示重力旋矩和与水平面平行的旋矩的大小,垂直方向的为重力旋矩,与水平面平行的为陀螺旋转的旋矩.
当使陀螺旋转的旋矩等于陀螺固定的最大重力旋矩时,它们的向心作用点就会在同一点上,这时陀螺的旋转就会形成以陀螺旋转的旋矩大小为半径的扩大了的球形旋转,而按球形球面的任意一点到球心的向心旋矩是相等的来分析,实际上旋矩的作用就是平衡了重力旋矩的作用而使陀螺竖立不倒.还有重力旋矩的作用中心是始终指向球心的,不管以旋矩形成的球形有多大,就会有以这球形半径的大小为力臂而形成的重力旋矩.
而当陀螺旋转的旋矩小于固定了旋心的陀螺重力旋矩时,它们的向心作用点就不在同一点上,此时陀螺脚到陀螺旋心的重力旋矩就会倒下直到和旋转的旋矩平衡相等并同心垂直交叉为止,即重新形成以这陀螺旋矩大小一样的重力旋矩和以这旋矩为半径的球形旋转,同时也形成了以陀螺脚为周转中心的绕心旋矩,这就是陀螺为什斜着旋转不会倒下的原理.
按上面的定量分析可知,在矢量坐标图里,AB为固定了旋心时陀螺竖直旋转的重力旋矩,它等于陀螺的旋心到陀脚底的距离乘以重力加速度g,BC为陀螺倾斜旋转时与水平面垂直的重力旋矩,它和陀螺倾斜旋转时与水平面平行的旋矩相等,等于BC的长乘以重力加速度g.
另外陀螺在倾斜旋转时由于和水平面平行的旋矩与重力旋矩BC平衡相等,故和水平面平行的旋矩的向心加速度等于重力旋矩BC除以陀螺水平旋转的实际半径长.这样在这里又可根据计算出来的向心加速度通过向心加速度的公式计算出陀螺在斜转时圆周切点的水平线速度.
还有当陀螺水平旋转的旋矩小于陀螺竖直旋转固定的重力旋矩而大于0时,陀螺绕心进动的旋矩为AC,它的向心加速度等于旋矩AC除以旋臂的长（即AC的长）.
这样按以上的条件分析,在这里就可以通过建立的旋矩矢量坐标图,用几何力学的方法,以三角函数计算出按旋转的旋矩与重力的旋矩交叉垂直作用时陀螺的旋心到陀脚AB线与水平面所形成的角度,并可计算出陀螺绕心进动的周转速度了.
具体的计算为,通过三角函数正弦的计算式sinA=BC/AB来计算陀螺的旋心到陀脚AB线与水平面所形成的角度,然后再按三角函数余切的计算式ctgA=AC/AB求出陀螺绕心进动的旋矩AC.
另外再根据绕心的向心加速度等于旋矩AC除以旋臂的长（即AC的长,AC的长=ctgA*AB的长）求出绕心的向心加速度,再根据向心加速度的大小及AC的长（绕心半径）通过向心加速度的公式即可求出绕心进动周转的线速度.