Question

1/根号下3+2x-x2的不定积分

Answer 1

∫［1/√（3＋2x－x^2）］dx
＝∫｛1/√［（3－x）（1＋x）］｝dx
＝∫｛1/［（3－x）（1＋x）］｝√［（3－x）（1＋x）］dx
＝（1/4）∫［1/（3－x）＋1/（1＋x）］√［（3－x）（1＋x）］dx
＝（1/4）∫｛√［（1＋x）/（3－x）］＋√［（3－x）/（1＋x）］｝dx.
令（1＋x）/（3－x）＝u^2,则：1＋x＝3u^2－xu^2,∴x（1＋u^2）＝3u^2－1,
∴x＝（3u^2－1）/（1＋u^2）,
∴dx＝｛［6u（1＋u^2）－2u（3u^2－1）］/（1＋u^2）^2｝du＝［8u/（1＋u^2）^2］du.
∴∫［1/√（3＋2x－x^2）］dx
＝（1/4）∫（u＋1/u）［8u/（1＋u^2）^2］du
＝2∫［（u^2＋1）/u］［u/（1＋u^2）^2］du
＝2∫［1/（1＋u^2）］du
＝2arctanu＋C
＝2arctan｛√［（1＋x）/（3－x）］｝＋C.