Question

什么叫有界函数？

Answer 1

一、有界函数是一个数学术语，是指具有有界性的函数。举例如下：
设函数f(x)的定义域为D，f(x)集合D上有定义。如果存在数K1，使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有上界。
反之，如果存在数字K2，使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界，而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。
如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界;等价于，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
通俗来讲，如果一个函数的值域是有限区间的话，那么这个函数就是有界函数。
二、大家都知道的，函数拥有定义域、值域以及自变量与因变量的关系三方面。什么叫值域呢?
值域是指在函数的定义域上，所有的自变量的函数值的变化范围。简单举例如下：
如果某个函数的值域X能够满足A＜X＜B（这里的A,B都是固定数值），那么这个函数就叫作有界函数。

Answer 2

高数中的有界无界指的是函数的定义域和值域可取的范围。

如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界.

比如说是y=arctanx，它在整个实数定义域上有界。

你可以很形象地找到两个界限，一个是y=π/2，一个是y=-π/2，所有函数值超不过这个范围
如果一个函数有最小值和最大值，那么肯定是有界。

最大值和最小值就是界。

无界函数最形象的是y=tanx，当x趋近于π/2时，函数值趋近于无穷大。