Question

求∫(√(x^2+a^2))/(x^2)

Answer 1

令x＝atanu,则：√（x^2＋a^2）＝√［（atanu）^2＋a^2］＝a/cosu,dx＝［a/（cosu）^2］du.
sinu＝tanu/√［1＋（tanu）^2］＝（x/a）/√［1＋（x/a）^2］＝x/√（x^2＋a^2）,
（1＋sinu）/（1－sinu）
＝［1＋x/√（x^2＋a^2）］/［1－x/√（x^2＋a^2）］
＝［√（x^2＋a^2）＋x］/［√（x^2＋a^2）－x］
＝［√（x^2＋a^2）＋x］^2/［（x^2＋a^2）－x^2］
＝［√（x^2＋a^2）＋x］^2/a^2.
∴∫［√（x^2＋a^2）/x^2］dx
＝∫［（a/cosu）/（atanu）^2］［a/（cosu）^2］du
＝∫［（1/cosu）/（sinu）^2］du
＝∫｛cosu/［（sinu）^2（cosu）^2］｝du
＝∫｛1/［（sinu）^2（cosu）^2］｝d（sinu）
＝∫｛［（cosu）^2＋（sinu）^2］/［（sinu）^2（cosu）^2］｝d（sinu）
＝∫［1/（sinu）^2］d（sinu）＋∫［1/（cosu）^2］d（sinu）
＝－1/sinu＋∫｛1/［（1＋sinu）（1－sinu）］｝d（sinu）
＝－1/sinu＋（1/2）∫｛［（1－sinu＋1＋sinu）］/［（1＋sinu）（1－sinu）］｝d（sinu）
＝－1/sinu＋（1/2）∫［1/（1＋sinu）］d（1＋sinu）－（1/2）∫［1/（1－sinu）］d（1－sinu）
＝－1/sinu＋（1/2）ln（1＋sinu）－（1/2）ln（1－sinu）＋C
＝－√（x^2＋a^2）/x＋（1/2）ln［（1＋sinu）/（1－sinu）］＋C
＝（1/2）ln｛［√（x^2＋a^2）＋x］^2/a^2｝－√（x^2＋a^2）/x＋C
＝ln［√（x^2＋a^2）＋x］－lna－√（x^2＋a^2）/x＋C
＝ln［√（x^2＋a^2）＋x］－√（x^2＋a^2）/x＋C.