什么是一次同余方程?

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依清懿Lb
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一次同余方程亦称线性同余方程,是一类简单的同余方程,指未知数仅出现一次幂的同余方程。若a,b都是整数,m是正整数,当a≢0 (mod m)时,把ax=b (mod m)称为模m的一元一次同余方程,简称一次同余方程。
一次同余方程亦称线性同余方程,是一类简单的同余方程,指未知数仅出现一次幂的同余方程。
最简单的一次同余方为 (mod n),此处整数 (mod n)及 b 为给定整数,求解 x。这相当于求解一次不定方程(indefinite equation)或一次丢番图方程(Diophantine equation) ,其中,a,b,n为已知整数,求整数解x,y。这一方程有解的充要条件为(a,n)|b。当 时,同余方程有唯一的解 。当 时,只有当d|b时有解,这时命 为 唯一的解, 。则原方程共有 d 个关于模 n 互不同余的解: 。
一般的一次同余方程 有解 的充要条件为 。若此条件成立,则共有 组互不同余的解,mod n。
关于一次不定方程,中国古代早有研究,如张丘建的“百鸡问”等。
关于一次同余方程的解法和性质有下述定理:
1.设(a, m) = 1,m>0,则同余式ax≡b(mod m)恰有一个解;
2.设(a, m) = d,m>0,则同余式ax≡b(mod m)有解的充分必要条件是d|b,此时恰有d个解。
根据以上两个定理,同余方程ax≡b (mod m)在a≢0且(a,m)|b的条件下,必有(a,m)个关于模m互不同余的解。又根据最大公约数的性质,必有二整数x、y,能使ax+my=(a,m)。由于(a,m)|b,所以有 , ,使 ,由此即可得到原方程的(a,m)个关于模m互不同余的解为。
北京埃德思远电气技术咨询有限公司
2021-11-22 广告
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